Los números primos, perfectos, amigos y felices :)

Sabemos que existen muchos conjuntos de números, como los naturales, enteros, racionales, etc., pero también hay otros subconjuntos muy interesantes, como los números, primos, perfectos, amigos y felices.

A lo mejor, los más conocidos de estos cuatro sean los números primos, ya que son aquellos que solamente pueden ser divididos (siendo su resultado entero) entre sí mismo y la unidad (o sea 1).

Lo más interesante de estos números es que no se sabe cuántos son, no se sabe si son finitos o infinitos, ni tampoco una fórmula para saber por ejemplo el número primo #15. Se han descubierto que hay números primos de millones de dígitos.

Por otro lado, existen los números perfectos, los cuáles son aquellos en los que la suma de sus divisores es el mismo número. Por ejemplo: los divisores de 6 son 1, 2 y 3. La suma es 1+2+3=6, entonces 6 es un número perfecto.

A la fecha, todos los números perfectos que se conocen son pares, no se ha descubierto un número perfecto impar, tampoco se sabe si son finitos o infinitos. Además, los números primos y perfectos tienen algo en común, en el siguiente video se muestra:

Ahora, los números amigos son aquellos que la suma de los divisores de uno es el otro número, por ejemplo 220 y 284 son números, ya que los divisores de 220 son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 y 110 y esta suma es 284. Por otro lado, los divisores de 284 son 1,2,4,71 y 142, y efectivamente, esta suma es 220. 

El siguiente video muestra más datos sobre los números amigos, como la fórmula para encontrarlos:

Finalmente, los números felices son aquellos que al sumar el cuadrado de cada cifra, en algún punto llegamos al 1, y como 1 al cuadrado es igual a 1, nos quedamos ahí infinitamente. Por ejemplo el 23 es un número feliz, pues sumamos 4 y 9 (pues son los cuadrados de cada dígito del 23) nos da 13 y si hacemos el mismo procedimiento 1+9=10 y una vez más 1+0=1. Si desea ver más datos sobre los números felices mire el siguiente video:

 "Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas"
Albert Einstein.

Don Quijote de la Mancha en los decimales de π.

Es muy interesante pensar que podemos encontrar Don Quijote de la Mancha completo en los decimales de π. Lo cierto es, que algunas propiedades de los números irracionales no periódicos son muy curiosos.

En los que cumplen ciertas propiedades, podemos encontrar TODO y no es exageración, todo es todo, por ejemplos todos los mensajes que han sido enviados y los que serán enviados alguna vez por WhatsApp, las publicaciones en distintas redes sociales, todos los libros que han sido escritos a lo largo de la historia (Como Don Quijote de la Mancha), los nombres de todas las personas y absolutamente todo lo que se pueda imaginar.

¿Cómo es esto posible? Lo que se hace es codificar los decimales de π, es decir, cambiar los números por letras de alguna forma que en cualquier momento de estos decimales (como son infinitos) nos encontraríamos con cualquier cosa que busquemos pues se encuentra toda la información del mundo.

Pero, el número debe cumplir con tres propiedades:

-La lista de decimales debe ser tan grande como queramos. Y como sabemos π es irracional, por lo que eso no es problema, tiene infinitos números.

-Los decimales no deben tener un patrón que se repita, es decir, que no sea periódico. Lo cual también lo cumple π.

-Tiene que ser un número "normal", lo cual quiere decir que las cifras del 0 al 9 aparezcan mas o menos con la misma frecuencia en sus decimales. Lo cual no se sabe si π lo cumple.

Por lo tanto, no se puede asegurar que en π se encuentre toda la información del universo presente, pasada y futura incluida Don Quijote de la Mancha, para ello, alguien debe demostrar que π es normal y aunque hay indicios, en matemática no se puede asegurar algo hasta que esté demostrado.

La buena noticia es que si existen números que cumplen las tres propiedades, este es el número de Champernowne que es 0.123456789101112..., es decir 0 y la lista de todos los números naturales.

En este número si se encuentra en algún momento de sus infinitos números toda la información del universo codificada ¡Impresionante!

El siguiente video menciona más datos sobre esto:

 "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas"
Albert Einstein.

Los secretos del triángulo de Pascal.

El triángulo de Pascal se construye de la siguiente forma: en la cima del triángulo se encuentra un uno, en la siguiente fila se encuentran dos unos y a partir de la tercera fila se comienza y termina con un uno y en medio la suma de los dos números de arriba y así infinitamente...

El triángulo posee ciertas propiedades o secretos como los siguientes:

-Cada fila corresponde a los números combinatorios, por ejemplo la primera fila corresponde a n=0 donde 0C0=0, la segunda fila corresponde a n=1 donde 1C0=1 y 1C1=1, y así sucesivamente con todos los números combinatorios.

-Si sumamos los números de cada fila obtenemos: 1,2,4,8,16,32,64... es decir, las potencias de 2.

-Los números de la tercera diagonal pertenecen a los números triangulares, de los cuáles el primero es 1, el segundo 1+2=3, el tercero 1+2+3=6 y así sucesivamente.

                                         

-Si sumamos cualquier diagonal hasta donde deseemos y luego bajamos pero en el sentido de la otra diagonal, el número es dicha suma. Por ejemplo:

En el siguiente video se muestran más secretos sobre el triángulo de Pascal, ya que también en dicho triángulo se encuentran dos números irracionales muy conocidos.

"Las matemáticas son el lenguaje, son el idioma que usó Dios para escribir el mundo"

Galileo Galilei.

¿De cuántas formas puede atarse la cintas de sus zapatos?

En muchas ocasiones de nuestra vida contamos y existe una área de matemática llamada Combinatoria, en donde podemos contar sin tener los elementos físicamente, sino que solamente descritos.

Por ejemplo, ¿cuántos número capicúas de cuatro cifras hay? Para responder esto, se podría escribir todos los números y marcar los capicúas, pero se puede resolver de una forma más sencilla utilizando combinatoria. Para el primer número podemos escoger cualquier número dígito a excepción del cero (porque entonces no sería un número de cuatro cifras, sino de tres) es decir que tenemos 9 opciones. Luego, para el segundo número si podemos escoger entre todos los 10 números dígitos; el tercer y cuarto número solo tenemos una opción para cada uno, pues el tercero es el mismo del segundo y el cuarto es el mismo del primero. Entonces tendríamos lo siguiente: 9x10x1x1=90, lo que significa que existen 90 números capicúas de cuatro cifras.

Ahora, supongamos que nuestros zapatos tienen 6 ojales en cada hilera, que hacen un total de 12 ojales y la cinta puede pasar por arriba o por abajo (o sea de 2 formas). Entonces 2x12=24 formas de atar los zapatos. Luego, tenemos 11 ojales que pueden pasar de 2 formas, entonces 11x2=22. Entonces para pasar dos ojales habría un total de: 24x22=528  Y así sucesivamente con los 12 ojales tendríamos un total de: 24x22x20x18x16x14x12x10x8x6x4x2=1,961,990,553,600.

Se obtiene un total de casi 2 billones de formas y si dividimos este resultado entre 365 días que tiene un año, el resultado es de 3,375,316,585 años (que de hecho es más tiempo de la edad del planeta Tierra).

Sin embargo, un matemático hizo un cálculo para saber cuántas de estas formas son realmente prácticas de realizar y obtuvo un valor de 43,200 lo que equivale a aproximadamente 118 años atándose los zapatos de forma diferente. Lo cual es una buena forma de ser original cada día de nuestra vida.

En el siguiente video se explican más datos respecto a este tema:

"Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas"
Albert Einstein.

El misterio del número 6,174.

Existen datos que vuelve al número 6,174 bastante misterioso, sobre todo porque no se logra explicar el porqué de la propiedad que contiene o si se presenta en la naturaleza de alguna forma o si es una simple casualidad.

Primero, escoja un número de cuatro cifras (sin que sean todas iguales), por ejemplo el número 3,786. Ahora, buscamos el número más grande que podamos formar con esa cifra, o sea el número 8,763. Además, buscamos el número más pequeño que podamos formar con esa cifra, o sea el número 3,678. Luego los restamos, es decir, 8,763-3,678=5,085.

Posteriormente, realizamos el mismo procedimiento las veces necesarias:

8,550-0558=7,962

9,762-2,679=7,083

8,730-0378=8,352

8,532-2,358=6,174

Una de las curiosidades del número, es que todo número de cuatro cifras, luego de las interacciones necesarias, siempre se llega a ese número, pero ¿qué ocurre cuando realizamos el procedimiento con ese número?

7,641-1,467=6,174. Una vez llegando a este número se queda ahí para siempre.

Por otro lado, Kaprekar, un matemático indio, plantea este procedimiento de restar el mayor número menos el menor y el número 6,174 se considera un punto fijo para el proceso de Kaprekar y lo mismo ocurre con el 495, el cual es un punto fijo para los números de tres cifras. 

Además, estos números son llamados constantes de Kaprekar. También se conoce que con cuatro cifras es un máximo de 8 interacciones para llegar al 6,174 y con tres cifras es un máximo de 6 interacciones para llegar al 495.

Sin embargo, para números de dos cifras no se conoce una constante de Kaprekar, pero sí un ciclo de cinco números: 09, 81, 63, 27, 45.

El siguiente video menciona más datos sobre este número:

"En matemática uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas"
John von Neumann.

La sucesión de Fibonacci y la razón áurea.

Fibonacci es un matemático italiano del siglo XIII, quien fue el primero el describir una sucesión muy particular. Una sucesión es una secuencia ordenada de números como por ejemplo: 2,4,6,8...

La sucesión de Fibonacci es la siguiente: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...

La cual comienza con el número 1, luego nuevamente el número 1, y los siguientes siempre se forman con la suma de los dos anteriores, por ejemplo el tercer término es la suma de 1+1, el cuarto término es la suma de 1+2, el quinto término es la suma de 2+3 y así infinitamente.

Esta sucesión tiene datos muy curiosos como los siguientes:

• Cualquier número entero puede expresarse como suma de dos números de Fibonacci distintos.
• El MCD (Máximo Común Divisor) de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci.
• La sucesión aparece en el triángulo de Pascal:

• Aparece mucho en la naturaleza, por ejemplo en cómo se distribuyen las ramas de los árboles y las escamas de la piña, también en el árbol genealógico de las abejas.

Por otro lado, la razón áurea es un número irracional que vincula dos segmentos pertenecientes a una misma recta. Puede decirse que la razón o proporción áurea surge de la relación entre un segmento a y un segmento b. El segmento a es más extenso que el segmento b, y hay un segmento completo de longitud a+b en donde existe una igualdad entre la proporción de a/b y (a+b)/a. Y este número tiene un valor aproximado de 1.61803398874989...

Ahora, existe una relación impresionante entre los números de Fibonacci y la razón áurea y es que si tomamos dos números consecutivos de Fibonacci y dividimos el mayor entre el menor, entre más grandes sean esos números consecutivos, en el límite, tenemos como resultado la razón áurea.

El siguiente video contiene más datos curioso sobre estos temas:

¡Muchas gracias por leerme!

Infinitos más grandes que otros infinitos.

Cuando hablamos de infinito, se hace referencia a algo sin límite o final, se representa por el símbolo ∞.

A lo largo de la historia, el primer conjunto de números en surgir es el conjunto de los números naturales (representados por N), es decir N={1,2,3,4...} que surgen por la necesidad que existe de contar, de asignar un valor a la cantidad de presencia de algo.

Entonces, ¿será más grande el infinito de los números naturales o de los números pares? Quizá pensamos que es más grande el infinito de los números naturales, pero la respuesta es que son iguales, hay tantos números naturales como números pares en el conjunto de los naturales.

Por otro lado, existe otro conjunto  de números que son los reales, en este conjunto se encuentran incluidos los números naturales, números enteros, números racionales y números irracionales. En este conjunto hay infinitos inmersos en otros infinitos, por ejemplo, el conjunto de los números reales como tal, es un conjunto infinito y entre dos números reales consecutivos también existen infinitos números, como por ejemplo entre el 1 y el 2, existe un infinito de números entre estos dos, como el 1.1, 1.2, 1.3, 1.11.

Entonces, ¿será más grande el infinito de los números reales o de los números naturales? En este caso, no ocurre como la situación anterior, pues la respuesta es que el infinito de los números reales es más grande y esto fue demostrado por Georg Cantor, en el video que le muestro a continuación se encuentra la demostración a este dato:

¡Muchas gracias por leerme!

Los números anti capicúas.

Para definir el término anti capicúa primero se debe definir el término capicúa y hacen referencia a aquellos números que se leen de la misma manera de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Por ejemplo 161, 2992, 12344321. Estos números también son llamados palíndromos. Además, a lo largo de la historia hemos vivido fechas capicúas tales como 02/02/2020 ó 20/02/2002.

Una de las curiosidades que tienen los números capicúas es que son números compuestos, es decir que tiene divisores diferentes de 1.

También, existe un proceso matemático en el que un número cualquiera puede volverse capicúa, que consiste en que a ese número se le suma su reverso, por ejemplo:

15, su reverso es 51, entonces 15+51=66 (que es capicúa).

Otro ejemplo es el 87, su reverso es 78, entonces 87+78=165, como no es capicúa realizamos el procedimiento nuevamente con 165, su reverso es 561, entonces 165+561=726, como aún no es capicúa realizamos el procedimiento nuevamente con 726, su reverso es 627, entonces 726+627=1,353. Como aún no es capicúa realizamos el procedimiento con 1,353, su reverso es 3,531, entonces 1,353+3,531=4,884 (que es capicúa).

Entonces, ahora surge la siguiente pregunta, si cualquier número que tomemos, ¿puede volverse capicúa? y la respuesta a esta pregunta es que no se sabe, ya que existen infinitos números y nadie ha demostrado que todos los números por medio de este procedimiento pueden volverse capicúas.

Por otro lado, se ha descubierto que existen ciertos números que se resisten a volverse capicúas, estos son llamados números de Lychrel (o anti capicúas), el más pequeño de ellos es el 196, el cuál ha sido procesado por ordenadores buscando formar un número capicúa de él, lo cual no ha resultado con éxito y se ha llegado hasta números de 1,000 millones de cifras en el proceso.

Entonces, ¿habrá algún misterio en el 196 o en los demás números de Lychrel, los cuales se resisten a volverse capicúas? Esperemos que pronto haya una respuesta para este dato tan misterioso.

Dato curioso amoroso: este problema abierto fue descubierto por Wade Van Landingham y escogió el nombre Lychrel como anagrama del nombre de su novia Cheryl.

Para finalizar, en el siguiente video explica un poco más sobre los números anti capicúas.

Muchas gracias por leerme.

La paradoja del cumpleaños.

En esta ocasión, el área de la matemática llamada estadística, está presente en este blog.

¿Cuántas personas considera que cumplen años el mismo día?

Si en alguna ocasión usted se encuentra presente en un grupo de 23 personas, puede verificar este evento matemático, que consiste en que de esas 23 personas, hay una probabilidad mayor al 50 % de que 2 de ellas cumplan años el mismo día.

Entonces, podemos pensar en un lugar donde hay 23 personas, por ejemplo un partido de futbol, contando solo los 11 jugadores de ambos equipos y el árbitro, suman 23 y ¡vaya casualidad! pues el día 23 de abril de 2017 en el Estadio Santiago Bernabéu se jugó un clásico de la Liga, donde se encontraban los jugadores Gareth Bale y Sergio Busquets y ambos cumplen años el 16 de julio, que si sumamos 16 y 7 (por el mes de julio), tenemos como resultado 23, pero esto último ya es pura casualidad.

Pero, ¿cómo es esto posible? 

Todo se reduce a calcular la probabilidad de escoger 23 números diferentes de 365 con la posibilidad de repetir números. Entonces, para escoger el primer número tendríamos 365/365=1, o sea un 100 % de probabilidad. Para escoger el segundo número tendríamos (365/365)(364/365)=0.997, o sea un 99.7 % de probabilidad. Para escoger el tercer número tendríamos (365/365)(364/365)(363/365)=0.991, o sea un 99.1% de probabilidad de escoger 3 números diferentes de 365 números.

Y si continuamos así hasta el #23 tendríamos:

(365/365)(364/365)(363/365)...(343/365)=0.493

A este resultado se le calcula su complemento: 1-0.493=0.507, o sea un 50.7 % de probabilidad de que al escoger 23 números de 365 números, al menos 2 de ellos sean iguales, por ende, que cumplan años el mismo día.

Y esta probabilidad aumenta muy rápido, pues con 50 personas se tiene una probabilidad del 97 % y con 70 personas hay un 99.9 % de probabilidad. Por lo tanto, si algún día desea hacer una apuesta poniendo en práctica este evento, con 70 personas la estadística lo apoya casi en su totalidad para poder ganarla.

Sin embargo, hay un dato más por aclarar, ya que no se refiere a la probabilidad de que sea el mismo cumpleaños de usted, esa probabilidad se calcula diferente y tiene un valor de 6.1 %, lo cual es muy poco probable que gane si lo plantea de esa forma.

Para finalizar, en el siguiente video se explica el procedimiento matemático completo que respalda este evento.

 Muchas gracias por leerme.

Escalera al Sol.

Imagine que tiene un papel lo suficientemente grande para doblarlo 54 veces por la mitad, ¿qué tan alto cree que sería?, ¿cómo la altura de una persona promedio?, ¿la altura de un edificio?

La respuesta es no. Sería mucho, muchísimo más alto.

Es muy sorprendente, pero superaría la distancia del planeta Tierra al Sol. Pero ¿cómo es esto posible?

Se estima que esta distancia es de 150 millones de kilómetros y considerando que el papel mide 0.01 milímetro de grosor, este se duplica por cada doblez, es decir, que en el primer doblez mide 2x0.01=0.02, en el segundo doblez mide 2x0.02=0.04 y haciendo los cálculos hasta el doblez #54 y transformando los milímetros a kilómetros, el papel tendría una distancia de 200,000,000. Por lo tanto, no solo llegaría al Sol, sino que aun más lejos.

Asimismo, si doblamos un papel 103 veces su distancia alcanzaría la anchura del universo observable ¡Es sorprendente!

A continuación, le presento un video donde se explica el proceso matemático completo que categoriza este hecho como posible.